Düzgün Dörtyüzlü Nedir? Özellikleri, Alan ve Hacim Hesaplaması – Formülü

3

Düzgün dörtyüzlünün özellikleri, alanı ve hacmi nasıl hesaplanır? Düzgün dörtyüzlünün alan, hacim formülleri, örnek sorular ve çözümleri.

Düzgün Dörtyüzlü Nedir?

Dört yüzü birbirine eş ve eşkenar üçgen olan piramide düzgün dörtyüzlü denir.

Advertisement

Piramidin yükseklik ayağı tabandaki eşkenar üçgenin ağırlık merkezidir.

Örnek

Şekilde, bir köşesi orijinde olan düzgün dörtyüzlünün bir köşesi B(0, 6, 0) dır.

Buna göre, düzgün dörtyüzlünün dikme ayağının ve köşelerinin koordinatlarını bulalım.

Advertisement

Çözüm

Düzgün dörtyüzlünün yüzleri eşkenar üçgendir.

[CH] yüksekliğinin ayağı tabandaki eşkenar üçgenin ağırlık merkezidir.

Düzgün dörtyüzlünün bir kenarı 6 birim olduğundan, yan yüz yükseklikleri \displaystyle 3\sqrt{3} birimdir.

Şekilde,

Advertisement

|OD| = |DB| =3 birim,

|AD| = |CD| = \displaystyle 3\sqrt{3} birim,

|HD| = \displaystyle \sqrt{3} birim olduğundan,

H(\displaystyle \sqrt{3}, 3, 0) ve A(\displaystyle 3\sqrt{3}, 3, 0) olur.

CHD dik üçgeninde pisagor bağıntısından,

|CH|² = 27-3 = 24

|CH| = \displaystyle 2\sqrt{6} birim olduğundan,

C(\displaystyle \sqrt{3}, 3, \displaystyle 2\sqrt{6}) bulunur.

Düzgün Dörtyüzlünün Alan ve Hacmi

Bir ayrıtının uzunluğu a birim olan düzgün dörtyüzlünün, alanı, \displaystyle A={{a}^{2}}\sqrt{3} birimkare, hacmi ise, \displaystyle V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12} birimküptür.

Bir kenarı a birim olan eşkenar üçgenin alanı, \displaystyle V=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} tür. Bir düzgün dörtyüzlüde birbirine eş dört tane eşkenar üçgen olduğundan, alanı, \displaystyle A={{a}^{2}}\sqrt{3} birimkare olur.

Advertisement

Bir piramidin hacmi taban alanı ile cisim yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir. Buna göre, taban alanı, \displaystyle \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}, yüksekliği \displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{3} olan düzgün dörtyüzlünün hacmi, \displaystyle V=\frac{1}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{6}}{3} \displaystyle V=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{12} birimküp olur.


Örnek:
  • Bir ayrıt uzunluğu 3 cm olan düzgün dörtyüzlünün alanını ve hacmini bulalım.
Çözüm
  • Bir kenarı a = 3 cm olan düzgün dörtyüzlünün alanı,
  • \displaystyle {{a}^{2}}\sqrt{3}={{3}^{2}}\sqrt{3}=9\sqrt{3}c{{m}^{2}} olur.
  • Hacmi ise,
  • \displaystyle \frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}=\frac{{{3}^{3}}\sqrt{2}}{12}=\frac{27\sqrt{2}}{12}=\frac{9\sqrt{2}}{4}c{{m}^{3}} olur.

NOT:

Bir kenarı a birim olan düzgün sekizyüzlünün,

alanı; \displaystyle A=2{{a}^{2}}\sqrt{3} birimkare
hacmi; \displaystyle V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3} birimküp olur.

Düzgün dörtyüzlünün yüksekliği, yani P ve T tepe noktaları arasındaki uzaklık, \displaystyle \text{PT }\!\!|\!\!\text{ =}a\sqrt{2} birimdir.

Örnek:
  • Alanı \displaystyle 72\sqrt{3}c{{m}^{2}} olan düzgün sekizyüzlünün hacmini bulalım.
Çözüm

Düzgün sekizyüzlünün bir ayrıt uzunluğuna a dersek, alanı \displaystyle 2{{a}^{2}}\sqrt{3} olduğundan,
\displaystyle 2{{a}^{2}}\sqrt{3}=72\sqrt{3}
\displaystyle {{a}^{2}}=36\Rightarrow a=6cm olur.

Bir kenarı 6 cm olan düzgün sekizyüzlünün hacmi,
\displaystyle Hacim=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}=\frac{{{6}^{3}}\sqrt{2}}{3}=72\sqrt{2}c{{m}^{3}} bulunur.

Düzgün Dörtyüzlü Özellikleri

Bir ayrıtının uzunluğu a birim olan bir düzgün dörtyüzlü alalım.
Şekilde, |AD| = a birim ve |DF| = |FC| = birimdir.
AFD dik üçgeninde pisagor bağıntısından veya ACD eşkenar üçgeninin yüksekliğinden,

düzgün dörtyüzlünün yan yüz yüksekliği

\displaystyle \left| AF \right|=\frac{a\sqrt{3}}{2} birim olur.

Şekilde [BF], BCD eşkenar üçgeninin yüksekliği olduğundan,

\displaystyle \left| BF \right|=\frac{a\sqrt{3}}{2} birimdir.

H noktası tabanın ağırlık merkezi olduğundan,

\displaystyle \left| HF \right|=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6} birim olur.

Advertisement

AHF dik üçgeninde pisagor bağıntısından,

\displaystyle {{\left| AH \right|}^{2}}={{\left| AF \right|}^{2}}-{{\left| HF \right|}^{2}}

\displaystyle {{\left| AH \right|}^{2}}={{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{6} \right)}^{2}}

\displaystyle {{\left| AH \right|}^{2}}=\frac{2{{a}^{2}}}{3} olduğundan

düzgün dörtyüzlünün cisim yüksekliği

\displaystyle \left| AH \right|=\frac{a\sqrt{6}}{3} birim olur.


3 yorum

  1. Yeni içerikleri hep takip edeceğim. Gerçekten dopdolu bir sayfa olmuş.Bütün her şey açık ve seçik ortada.

Leave A Reply