Karmaşık Sayının Kökleri Nasıl Hesaplanır? Örneklerle Anlatım

0

By gurur on 7 Temmuz 2021 Matematik

Advertisement

Karmaşık sayıların kökleri nasıl hesaplanır, örnek çözümlü sorular, karmaşık sayının kökleri konu anlatımı. Sorular ve çözümleri.

Sayılar

KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ

$\displaystyle z=r.\left( \cos \theta +i\sin \theta \right)$ olmak üzere z karmaşık sayısının n. dereceden kökleri
$\displaystyle {{w}_{k}}=\sqrt[n]{r}.cis\left( \frac{\theta +2k\pi }{n} \right)$
k = 0, 1, 2, …, n – 1 formülü ile bulunur.

Sıfırdan farklı bir karmaşık sayının n. dereceden n tane kökü vardır. Bu n tane kök bir çember üzerinde $\displaystyle \frac{2\pi }{n}$ radyanlık açı ile sıralanır.

Hepsinin mutlak değerleri eşit ve $\displaystyle \sqrt[n]{r}$ dir.
n = 2 için karmaşık sayının karekökleri,
k=0 ve k=1 yazıldığında
$\displaystyle {{w}_{0}}=\sqrt{r}.\left( \cos \frac{\theta }{2}+i\sin \frac{\theta }{2} \right)$
$\displaystyle {{w}_{1}}=\sqrt{r}.\left( \cos \left( \frac{\theta }{2}+\pi \right)+i\sin \left( \frac{\theta }{2}+\pi \right) \right)$ şeklinde elde edilir.
$\displaystyle {{w}_{0}}$ ve $\displaystyle {{w}_{1}}$ sayılarının argümentleri arasında $\displaystyle \pi$ radyanlık fark vardır.

NOT:

Karmaşık sayının karekökleri olan $\displaystyle {{w}_{0}}$ ve $\displaystyle {{w}_{1}}$ için $\displaystyle {{w}_{1}}=-{{w}_{0}}$ dır.

NOT:

z = a + ib karmaşık sayısının karekökleri $\displaystyle {{w}_{0}}$ ve $\displaystyle {{w}_{1}}$ olsun.

$\displaystyle b>0,{{w}_{0,1}}=\pm \left( \sqrt{\frac{\left| z \right|+a}{2}}+i\sqrt{\frac{\left| z \right|-a}{2}} \right)$
$\displaystyle b\langle 0,{{w}_{0,1}}=\pm \left( \sqrt{\frac{\left| z \right|+a}{2}}-i\sqrt{\frac{\left| z \right|-a}{2}} \right)$

Örnek:

z = 3 + 4i sayısının kareköklerini bulunuz.

Çözüm:

$\displaystyle \left| z \right|=\sqrt{9+16}=5$
$\displaystyle {{w}_{0,1}}=\mp \left( \sqrt{\frac{5+3}{2}}+i\sqrt{\frac{5-3}{2}} \right)$
$\displaystyle {{w}_{0}}=\left( 2+i \right)=2+i$
$\displaystyle {{w}_{1}}=-\left( 2+i \right)=-2-i$

Advertisement

Örnek:

$\displaystyle z=2-2\sqrt{3}i$ sayısının kareköklerini bulunuz.

Çözüm:

$\displaystyle \left| z \right|=\sqrt{4+12}=4$
$\displaystyle \tan \theta =-\sqrt{3}\Rightarrow \theta =Arg(z)=300{}^\circ$
$\displaystyle z=4cis300{}^\circ$
$\displaystyle {{w}_{0}}=\sqrt{4}.cis150{}^\circ ,{{w}_{1}}=\sqrt{4}cis\left( 150{}^\circ +180{}^\circ \right)$
$\displaystyle {{w}_{0}}=2.cis150{}^\circ ,{{w}_{1}}=2cis330{}^\circ$
$\displaystyle {{w}_{0}}=2.\left( \frac{-\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2} \right),{{w}_{1}}=2\left( \frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2} \right)$
$\displaystyle {{w}_{0}}=-\sqrt{3}+i,{{w}_{1}}=\sqrt{3}-i$

NOT:

n = 3 ve k = 0, 1,2 için karmaşık sayının küpkökleri bulunur.
$\displaystyle {{w}_{0}}=\sqrt[3]{r}.cis\frac{\theta }{3}$
$\displaystyle {{w}_{1}}=\sqrt[3]{r}.cis\left( \frac{\theta }{3}+\frac{2\pi }{3} \right)$
$\displaystyle {{w}_{2}}=\sqrt[3]{r}.cis\left( \frac{\theta }{3}+\frac{4\pi }{3} \right)$
$\displaystyle {{w}_{0}},{{w}_{1}},{{w}_{2}}$ sayılarının argümentleri arasında $\displaystyle \frac{2\pi }{3}$ radyanlık fark vardır.

Örnek:

z=-8i sayısının küpköklerini bulunuz.

Çözüm:

$\displaystyle z=8cis270{}^\circ$
$\displaystyle {{w}_{k}}=\sqrt[3]{8}.cis\left( \frac{270{}^\circ +2k\pi }{3} \right)$
$\displaystyle k=0\Rightarrow {{w}_{0}}=2cis90{}^\circ$
$\displaystyle k=1\Rightarrow {{w}_{1}}=2cis210{}^\circ$
$\displaystyle k=2\Rightarrow {{w}_{2}}=2cis330{}^\circ$

Örnek:

$\displaystyle {{z}^{2}}=i$ eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarını bulunuz.

Çözüm:

$\displaystyle {{z}^{2}}=i=0+0.i=cis90{}^\circ$
$\displaystyle {{z}_{k}}=cis\left( \frac{90{}^\circ +2k\pi }{2} \right)$
$\displaystyle k=0\Rightarrow {{z}_{0}}=cis45{}^\circ =\frac{\sqrt{2}}{2}+i.\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle k=1\Rightarrow {{z}_{1}}=cis225{}^\circ =-\frac{\sqrt{2}}{2}-i.\frac{\sqrt{2}}{2}$

Leave A Reply Cancel Reply