Köklü Sayılarda Paydanın Rasyonel Yapılması, Köklü Sayıları Sıralama Örnekler

Köklü sayılarda payda nasıl rasyonel yapılır? Köklü sayıların sıralanması, Konu anlatımı ve örnekler, örnek soru ve cevapları.

Köklü Sayılarda Paydanın Rasyonel Yapılması

1) $\frac{b}{\sqrt{a}}=\frac{b\sqrt{a}}{\sqrt{a}.\sqrt{a}}=\frac{b\sqrt{a}}{a}$
2) m >n ise $\frac{1}{\sqrt[m]{{{a}^{n}}}}=\frac{1.\sqrt[m]{{{a}^{m-n}}}}{\sqrt[m]{{{a}^{n}}}.\sqrt[m]{{{a}^{m-n}}}}$
$=\frac{\sqrt[m]{{{a}^{m-n}}}}{\sqrt[m]{{{a}^{m-n+n}}}}=\frac{\sqrt[m]{{{a}^{m-n}}}}{\sqrt[m]{{{a}^{m}}}}=\frac{\sqrt[m]{{{a}^{m-n}}}}{a}$
3) $\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}).(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$
$=\frac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}$

Örnekler;

1) $\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}.\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
2) $\frac{3}{\sqrt[5]{27}}=\frac{3}{\sqrt[5]{{{3}^{3}}}}=\frac{3.\sqrt[5]{{{3}^{2}}}}{\sqrt[5]{{{3}^{3}}}.\sqrt[5]{{{3}^{2}}}}$
$=\frac{3.\sqrt[5]{9}}{3}=\sqrt[5]{9}$
3) $\frac{1}{2\sqrt{2}-3\sqrt{3}}=\frac{1.(2\sqrt{2}+3\sqrt{3})}{(2\sqrt{2}-3\sqrt{3)}.(2\sqrt{2}+3\sqrt{3})}$
$=\frac{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}}{4.2-9.3}=\frac{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}}{19}$

Örnek Soru

${{2}^{a}}=m$ ve $\sqrt[3]{m\sqrt{m}}=16$

ise a =?

Çözüm;

$\sqrt[3]{m\sqrt{m}}=\sqrt[3]{m.{{m}^{1/2}}}=\sqrt[3]{{{m}^{1+1/2}}}$
$\sqrt[3]{{{m}^{3/2}}}={{m}^{\frac{3}{2}.\frac{1}{3}}}={{m}^{1/2}}$
${{m}^{1/2}}=16\Rightarrow {{2}^{a.\frac{1}{2}}}=16$
${{2}^{1/2}}={{2}^{4}}$ den
$\frac{a}{2}=4\Rightarrow a=8$

Paydası $\displaystyle \sqrt{a}$ şeklinde verilen kareköklü bir sayının paydasını rasyonel yapmak için pay ve payda $\displaystyle \sqrt{a}$ ile genişletilir.

Örnek:

a) $\displaystyle \frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}.\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$
b) $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
c) $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{5}}{5}$

Örnek:

$\displaystyle \frac{3}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}-\frac{5}{\sqrt{5}}$ işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

$\displaystyle \frac{3}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}-\frac{5}{\sqrt{5}}$
$\displaystyle =\frac{3\left( \sqrt{6}+\sqrt{3} \right)}{6-3}+\frac{2\left( \sqrt{5}-\sqrt{3} \right)}{5-3}-\frac{5\sqrt{5}}{5}$
$\displaystyle =\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{5}$
$\displaystyle =\sqrt{6}$ bulunur.

Örnek:

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
$\displaystyle \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}$
$\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}$
$\displaystyle 2\sqrt{3}$ bulunur.

Sorular

$\displaystyle \frac{3}{3-\sqrt{6}}$ işleminin sonucu kaçtır?
$\displaystyle \frac{2}{3+2\sqrt{2}}+\frac{2}{3-2\sqrt{2}}$ işleminin sonucu kaçtır?
$\displaystyle \frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}+\frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}$ işleminin sonucu kaçtır?
$\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}+1-\sqrt{3}}-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1}$ işleminin sonucu kaçtır?

Kareköklü Sayılarda Sıralama

Kare köklü sayılardaki karekök içindeki sayıların büyüklüğüne göre sıralama yapılır. Eğer karekökün dışında karekökün katsayısı varsa ilk önce bu katsayı içeri alınır, daha sonra sıralama yapılır.

Dikkat:
$\displaystyle 0\le a<b<c\Rightarrow \sqrt{a}<\sqrt{b}<\sqrt{c}$

Örnek:

$\displaystyle 3\sqrt{7},4\sqrt{5}$ ve 13 sayılarını sıralayalım.
$\displaystyle 3\sqrt{7}=\sqrt{{{3}^{2}}.7}=\sqrt{63}$
$\displaystyle 4\sqrt{5}=\sqrt{{{4}^{2}}.5}=\sqrt{80}$
$\displaystyle 13=\sqrt{{{13}^{2}}}=\sqrt{169}$
$\displaystyle 63<80<169$ olduğundan $\displaystyle \sqrt{63}<\sqrt{80}<\sqrt{169}$
Yani $\displaystyle 3\sqrt{7}<4\sqrt{5}<13$

Köklü Sayılar Çözümlü Sorular