Matematikte Sonsuz Küçükler Hesabı Nedir? Nasıl Yapılır? Hesaplaması

0

Matematikte sonsuz küçükler hesabı nedir? Sonsuz küçükler hesabı nasıl yapılır, diferansiyel hesap, integral hesap hakkında bilgi.

Advertisement

Sonsuz Küçükler Hesabı

Sonsuz Küçükler Hesabı; Diferansiyel hesap ile integral hesaptan oluşan ve sonsuz küçüklerle limitlerin incelenmesine dayanan matematik dalıdır.

Sonsuz küçükler hesabını 1665-1676 yılları arasında Isaac Newton buldu, ama matematiğin bu dalı ancak 1700’den sonra yayımlanan yapıtlarda görüldü.

Limit kavramı, kinematik aracılığıyla, büyüklüklerin artması konusunda dolaylı bir biçimde ortaya atılmıştı; bu artışlar istendiği kadar küçük, ya da “sonsuz” küçüktür. Günümüzdeki sonsuz küçükler hesabı, ilkece XVIII. yy’da duraksayan çözümlemenin (analiz) klasik bölümünü belirtir; bu hesap temelde diferansiyel hesabı, integral hesabı ve değişimler hesabını kapsar.

DİFERANSİYEL HESAP

Fonksiyonların değişim yönlerinin araştırılması, Newton’u türev kavramına götürdü. Bir f fonksiyonunun bir xo noktasındaki f türevinin, fonksiyonun ve değişkenin artışlarının oranının limiti olduğunu burada belirtelim;

Advertisement

\displaystyle f'\left( {{x}_{0}} \right)=\begin{matrix}  \lim \\  x\to {{x}_{0}} \\  \end{matrix}\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}

Maksimum ve minimumlarının büyük ve en küçük değerler) araştırılması temel bir problemdir. Değişkenin her x değeri için f(x), f(x0)’dan küçükse, f fonksiyonu bir x0 noktasında maksimumdan geçer; bir başka deyişle, f(Xo) sayısı, f’nin aldığı değerler kümesinin en büyük öğesidir. Aynı biçimde, f( Xo), f’nin aldığı değerler kümesinin en küçük öğesiyse, f fonksiyonu x0’da minimumdan geçer. Son olarak, f maksimumdan ya da minimumdan geçiyorsa, f’nin, ekstremumdan geçtiği söylenir. Kapalı bir [a,b] aralığı üstünde sürekli olan her f fonksiyonu bir maksimum ile bir minimumdan geçer, f’nin ]a,b[ aralığında türetilebilir olduğunu varsayalım.

Bu durumda, ]a.b[ aralığının, f’nin bir ekstremumdan geçtiği her x0 noktası için, f’nin türevi bu noktada sıfır olur. Böylece f’nin bir ekstremumundan geçmesi için gerekli (ama yeterli olmayan) koşul, türevinin sıfır olmasıdır. Bu sonuçtan diferansiyel hesabın ilk teoremlerinden biri olan Rolle teoremi (1691) çıkarılır: f, [a,b] üstünde sürekli, ]a,b[ üstünde türetilebilir, f(a) = f(b) biçiminde bir fonksiyon olsun, bu durumda f’,]a,b[‘nin en az bir noktasında sıfır olur.

Rolle teoremi

Rolle teoreminden, sonlu artışlarla ilgili şu formül ortaya çıkar: f(a) = f (b) olduğu varsayılmazsa, f(b)-f(a) = (b-a) f'(c) olacak biçimde, ]a,b[‘nin en az bir c noktası vardır.

Sonlu artışın formülü, f(b) yerine f(a) konunca yapılan hatanın artmasına yardımcı olur; bu formül ayrıca fonksiyonların değişim yönünün saptanmasını da sağlar: Bir aralıkta türetilebilir olan bir f fonksiyonunun artan fonksiyon olması için, türevinin pozitif olmadı gerekli ve yeterlidir; aynı biçimde, f’nin azalan olması için, türevinin negatif olması gerekli ve yeterlidir; son olarak, f’nin sabit olması için, türevinin sıfır olması gerekli ve yeterlidir.

Türetilebilir fonksiyon kavramı

Türetilebilir fonksiyon kavramı, diferansiyeli alınabilir fonksiyon kavramına götürür. Bir f fonksiyonunun, bir x0 noktasında diferansiyeli alınabilir bir fonksiyon olması için, bir g afin fonksiyonu bulunması gerekir, f’nin diferansiyeli alınabilir olması için, f’nin türetilebilir olması gerekli ve yeterlidir. Bu koşullarda, g fonksiyonu tektir ve \displaystyle \text{g(x) = f(}{{\text{x}}_{0}}\text{) + (x-}{{\text{x}}_{0}}\text{)}{{\text{f}}^{'}}\text{(}{{\text{x}}_{0}}\text{)} formülüyle tanımlanır.

Advertisement

\displaystyle h\to h{{f}^{'}}\left( {{x}_{0}} \right) fonksiyonuna f’nin x0 noktasındaki diferansiyeli denir ve dx0f ile gösterilir, f’nin, her x noktasında diferansiyeli alınabilirse, x’i dxf ile birleştiren uygulamaya f’nin diferansiyeli denir ve df ile gösterilir, f’nin x0 ‘da bir ekstremumdan geçmesi için gerekli koşul, bu noktadaki diferansiyelinin sıfır olmasıdır. Diferansiyel hesap, çok değişkenli fonksiyonlar durumunda hemen genişletilebilir. O zaman \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y} vb., kısmi diferansiyellerine başvurulur.

İki değişkenli bir fonksiyonun diferansiyeli şöyledir:
\displaystyle df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy

f’nin bir (x0, y0) noktasmda bir ekstremumdan geçmesi için, bu noktadaki kısmi türevleri sıfır olmalı, ya da bu noktadaki diferansiyeli sıfır olmalıdır.

İNTEGRAL HESAP

Türev probleminin karşıtı olan problem, belli bir türevi olan fonksiyonların araştırılması problemidir. Türev olarak bir f fonksiyonu bulunan bir g fonksiyonuna f’nin ilkeli denir ve \displaystyle \int{f\left( x \right)}dx ile gösterilir, g’ye bir sabitin eklenmesiyle, gene f’nin bir ilkel fonksiyonu elde edilir. Bunun tersine, sonlu artışlar formülünden f’nin iki ilkelinin bir sabitten farklı olduğu ortaya çıkar. Sürekli fonksiyonların ilkelleri vardır; bütün kullanılan fonksiyonların (dairesel fonksiyonlar, polinom fonksiyonlar, üstel fonksiyonlar ve logaritma fonksiyonları durumu böyledir.

Uygulamada, ilkeller doğrusallaştırma ve değişken değiştirme yöntemleri sayesinde bazı temel durumlara indirgenir; ayrıca parçalı integrasyon formülü de kullanılır:

\displaystyle \int{f\left( x \right)}{{g}^{'}}\left( x \right)dx=f\left( x \right)g\left( x \right)-\int{{{f}^{'}}\left( x \right)}g\left( x \right)dx

İlkellerin hesabı

İlkellerin hesabı, diferansiyel denklemlerin, yani y’ = f(x,y) biçimindeki (buradaki y, x değişkeninin bilinmeyen türevinin fonksiyonudur) denklemlerin çözümünü ya da “integrasyon”unu sağlar.

İntegral kavramı, ilkel kavramına oldukça yakındır. Bu kavramın kökeni, büyüklüklerin (uzunluklar, alanlar, hacimler, kütleler, vb.) ölçümü problemlerinde yatar. Bir [a,b] aralığında tanımlanan bazı f fonksiyonlarına f’nin [a,b]’deki integrali adı verilen ve \displaystyle \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}dx ile gösterilen bir sayı denk düşürülür. Bu fonksiyonlara integral fonksiyonlar (tam fonksiyonlar) denir. İntegralin ilk doğru tanımını Bernhard Riemann yaptı.

\displaystyle \left( {{c}_{0}},{{c}_{1}},{{c}_{2}},...,{{c}_{n}} \right)

\displaystyle a={{c}_{0}}<{{c}_{1}}<{{c}_{2}}<...<{{c}_{n-1}}<{{c}_{n}}=b

olacak biçimde bir [a,b] öğe dizisi olsun.

Advertisement

\displaystyle \left( {{c}_{1}}-{{c}_{0}} \right)f\left( {{x}_{1}} \right)+\left( {{c}_{2}}-{{c}_{1}} \right)f\left( {{x}_{2}} \right)+...+\left( {{c}_{n}}-{{c}_{n-1}} \right)f\left( {{x}_{n}} \right)

toplamım göz önüne alalım, burada xı, x2,…, xn sırasıyla [co, cı],[cı, c2],…, [cn-ı, cn] aralıklarına aittir.

\displaystyle {{c}_{i}}-{{c}_{i-1}} sayılarının en büyüğü O’a gittiği zaman bu toplamın bir limiti varsa, f, [a,b] aralığındaki integraldir denir; demek ki f’nin [a,b] aralığındaki integrali, bu limitin değeri olarak tanımlanır.

İntegre edilebilir fonksiyonlar

İntegre edilebilir fonksiyonlar arasında, sürekli fonksiyonlar, tekdüze fonksiyonlar ve daha genel olarak, her noktasının solunda ve sağında bir limit kabul eden fonksiyonlar vardır, integral doğrusal (lineer) bir biçimdir. Bir başka deyişle, her gerçek ( ∝,β ) sayı çifti için ve her integre edilebilir (f,g) fonksiyon çifti için:

\displaystyle \int\limits_{a}^{b}{\left[ \alpha f\left( x \right)+\beta g\left( x \right) \right]}dx=\alpha \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}dx+\beta \int\limits_{a}^{b}{g\left( x \right)}dx

f sürekli ise, \displaystyle x\to \int\limits_{a}^{x}{f\left( t \right)}dt f’nin bir ilkelidir; bu,a noktasında sıfır olan tek ilkeldir. Buradan şu sonuç çıkar: f’nin herhangi bir g ilkeli bilinirse, f’nin [a,b] aralığındaki integrali

\displaystyle \int\limits_{a}^{b}{f\left( t \right)}dt=g\left( b \right)-g\left( a \right) olur.

Ama ilkellerle integraller arasında pek sıkı bağ yoktur.

Böylece, türevi integre edilemeyen türetilebilir fonksiyonlar da vardır. Ayrıca, integral kavramının, çift, üçlü, vb. integraller biçiminde birçok değişkenli durumları da kapsamasına karşılık, ilkel kavramının iki değişken için hiçbir anlamı yoktur.

Son olarak, bir [a,b] aralığında integre edilebilir fonksiyon kavramı, sınırsız aralıklı durum için de genelleştirilir.

f her [a,x] aralığında integre edilebilir bir fonksiyon olsun. x, + ∞ ‘a doğru giderken \displaystyle \int\limits_{a}^{x}{f\left( t \right)}dt integralinin bir limiti varsa, f’nin [a, + ∞ ] aralığındaki integrali yakınsaktır; o zaman bu limit \displaystyle \int\limits_{a}^{+\infty }{f\left( t \right)} ile gösterilir. Bu integraller, olasılıklar hesabının temelidir.

DEĞİŞİMLER HESABI

Değişimler hesabı, bir ya da birçok gerçek değişkenli bir fonksiyonun ekstremuınlarına ilişkin temel kuramın bir genelleştirilmesi olarak ortaya çıktı. Ama bu kez değişken,bir fonksiyondur ya da bilinmeyen, bir sayı değü bir eğridir. Bu durumda bir diferansiyel sıfıra eşitlenerek, gerekli ekstremum koşulu elde edilir.

Advertisement

Sözgelimi, bir yüzeyin iki noktasını birleştiren eğriler arasında, en küçük uzunlukta olanlar araştırılabilir; bu eğrilere jeodezik eğriler denir. Küre durumunda jeodezikler, büyük daire yaylarıdır; bunların denizcilikte ve havacılıktaki önemi açıkça bilinir. Kuramın tarihsel kökeni, J. Bernouilli’nin 1696’da incelediği brankistokron problemine dayanır. Bunlar, düşey bir düzlemdeki belli iki noktayı, yerçekimi etkisi altında sürtünmesiz olarak kayan ağırlıklı bir noktama yol süresi en az olacak biçimde birleştiren eğrilerdir.

Değişimler hesabı XVIII. yy. boyunca pek çok çalışmanın konusu oldu. Bu arada Euler ile Lagrange’m adlarından söz etmek gerekir. Temel sonuç Euler denklemidir: Bir x değişkenine bağlı bir y fonksiyonunun

\displaystyle \int\limits_{a}^{b}{F\left( x,y,{{y}^{'}} \right)}dx integraline en yüksek değerini verdirmesi için,

\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right)=0 olmalıdır.Bu denklem mekanikte ve fizikte sabittir. Modern matematiksel çözümleme, 1800’den sonraki genelleştirmeleri kapsar: Bir ya da birçok karmaşık değişkenli fonksiyonların incelenmesi; kısmi türevli denklemler; ölçme kuramı; vb. Artık özel bir fonksiyonun incelenmesiyle değil de, bir fonksiyonlar kümesinin incelenmesiyle ilgilenilmektedir. Bu durumda, lineer cebirin ve topolojinin tekniklerinden yararlanılır. Özellikle, bir fonksiyonlar kümesiyle gösterilen cebirsel yapı araştırılır.


Leave A Reply