Köklü Sayılarda Dört İşlem, Köklü Sayılarda Toplama, Çıkarma, Çarpma Bölme

0
Advertisement

Kareköklü sayılarda dört işlem nasıl yapılır? Köklü sayılarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme konu anlatımı ve örnekler, çözümler.

Köklü Sayılarda Dört İşlem

Kareköklü Sayılarda Toplama İşlemi

Kareköklü sayılarda toplama işlemi yapılırken karekök içindeki sayıların aynı olması veya aynı hale getirilmesi gerekir. Kök içleri aynı olduktan sonra katsayılar toplanır.

\displaystyle a\sqrt{x}+b\sqrt{x}+c\sqrt{x}=\left( a+b+c \right)\sqrt{x}

Örnek:

  • a) \displaystyle \sqrt{3}+5\sqrt{3}+4\sqrt{3}=\left( 1+5+4 \right)\sqrt{3}=10\sqrt{3}
  • b) \displaystyle \sqrt{12}+\sqrt{27}=\sqrt{4.3}+\sqrt{9.3}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}
  • c) \displaystyle \sqrt{24}+\sqrt{54}=\sqrt{4.6}+\sqrt{9.6}=2\sqrt{6}+3\sqrt{6}=5\sqrt{6}
  • d) \displaystyle \sqrt{81}+\sqrt{144}=9+12=21

Örnek:

Kısa kenarı \displaystyle \sqrt{5} cm, uzun kenarı \displaystyle \sqrt{11} cm. olan paralelkenar ile bir kenarı \displaystyle \sqrt{3} cm olan düzgün altıgenin çevre uzunluklarını bulalım.

Paralel kenarın çevresi karşılıklı kenarların toplamıdır. \displaystyle {{C}_{1}}=\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{11}+\sqrt{11}=2\left( \sqrt{5}+\sqrt{11} \right) cm olur.

Düzgün altıgenin çevresi, eş uzunluktaki 6 kenarın toplamına eşittir. \displaystyle {{C}_{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}=6\sqrt{3}

Advertisement

Uyarı:
\displaystyle \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\ne a+b

Kareköklü Sayılarda Çıkarma İşlemi

Kareköklü sayılarda çıkarma işlemi yapılırken, kat sayının farkı ortak kareköke katsayı olarak yazılır.

\displaystyle x\sqrt{a}-y\sqrt{a}=\left( x-y \right)\sqrt{a}

Örnek:

  • a) \displaystyle 8\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\left( 8-3 \right)\sqrt{3}=5\sqrt{3}
  • b) \displaystyle \sqrt{17}-17\sqrt{17}=\left( 1-17 \right)\sqrt{17}=-16\sqrt{17}
  • c) \displaystyle \sqrt{12}-\sqrt{27}=\sqrt{4.3}-\sqrt{9.3}=2\sqrt{3}-3\sqrt{3}=-\sqrt{3}

Örnek:

  • \displaystyle \sqrt{36}+9\sqrt{7}-3\sqrt{7}-8=6+9\sqrt{7}-3\sqrt{7}-8
  • \displaystyle =\left( 6-8 \right)+\left( 9\sqrt{7}-3\sqrt{7} \right)=-2+\left( 9-3 \right)\sqrt{7}=-2+6\sqrt{7}

Örnek:

Uzun kenarının uzunluğu \displaystyle \sqrt{320} dm, kısa kenarının uzunluğu \displaystyle \sqrt{125} dm olan dikdörtgen şeklindeki LCD televizyonun uzun kenarının kısa kenarından kaç dm daha uzun olduğunu bulalım.

LCD televizyonun uzun kenarı kısa kenarından \displaystyle \sqrt{320}-\sqrt{125}=\sqrt{64.5}-\sqrt{125.5}=8\sqrt{5}-5\sqrt{5}=3\sqrt{5} dm daha uzundur.

Kareköklü Sayılarda Çarpma İşlemi

Kareköklü sayılarda çarpma işlemi yapılırken kat sayılar katsayılarla çarpılır, kök içleri birbirleriyle çarpılır.

Advertisement

\displaystyle a\sqrt{b}.c\sqrt{d}=a.c\sqrt{b.d}

Örnek:
  • a) \displaystyle \sqrt{3}.\sqrt{5}=\sqrt{3.5}=\sqrt{15}
  • b) \displaystyle \sqrt{2}.\sqrt{5}.\sqrt{7}=\sqrt{2.5.7}=\sqrt{70}
  • c) \displaystyle \left( 3\sqrt{5} \right).\left( 4\sqrt{7} \right)=3.4.\sqrt{5.7}=12\sqrt{35}
  • d) \displaystyle \sqrt{5}.\sqrt{5}=\sqrt{5.5}=5

Uyarı:
\displaystyle \sqrt{a}.\sqrt{a}=a

Örnek:
  • \displaystyle {{\left( \sqrt{2} \right)}^{3}}=\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sqrt{2}=2\sqrt{2}
  • \displaystyle {{\left( \sqrt{5} \right)}^{4}}=\sqrt{5}.\sqrt{5}.\sqrt{5}.\sqrt{5}=5.5=25
  • \displaystyle \sqrt{5}.\sqrt{7}.\sqrt{11}=\sqrt{5.7.11}=\sqrt{385}
  • \displaystyle -3\sqrt{3}.5\sqrt{5}=-3.5.\sqrt{3.5}=-15.\sqrt{15}
Örnek:

Bir kenarının uzunluğu \displaystyle 6\sqrt{2} cm olan kare şeklindeki çokgenin alanını bulalım.

Karenin alanı \displaystyle 6\sqrt{2}.6\sqrt{2}=36.2=72c{{m}^{2}}

Örnek:

Kenar uzunlukları 6, 8 ve 10 cm olan üçgenin alanını bulalım.

  • \displaystyle U=\frac{6+8+10}{2}=\frac{24}{2}=12
  • \displaystyle Alan=\sqrt{12.\left( 12-6 \right).\left( 12-8 \right).\left( 12-10 \right)}
  • \displaystyle =\sqrt{12.6.4.2}=\sqrt{144.4}=12.2=24c{{m}^{2}}

Kareköklü Sayılarda Bölme İşlemi

  • \displaystyle a\ge 0 ve b pozitif bir reel sayı olmak üzere kareköklü sayılarda bölme yapılırken karekök içindeki sayılar birbirine bölünür.
  • \displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} veya
  • \displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

Örnek:

  • a) \displaystyle \sqrt{\frac{16}{49}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{49}}=\frac{4}{7}
  • b) \displaystyle \sqrt{\frac{12}{27}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}

Örnek:

  • \displaystyle \sqrt{1+\sqrt{1+\frac{9}{16}}} işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
  • \displaystyle \sqrt{1+\sqrt{1+\frac{9}{16}}}=\sqrt{1+\sqrt{\frac{25}{16}}}=\sqrt{1+\frac{5}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}

Örnek:

  • \displaystyle \sqrt{\frac{54}{3\sqrt{4}}} işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
  • \displaystyle \sqrt{\frac{54}{3\sqrt{4}}}=\sqrt{\frac{54}{3\sqrt{{{2}^{2}}}}}=\sqrt{\frac{54}{3.2}}=\sqrt{\frac{54}{6}}=\sqrt{9}=3

Örnek:

  • \displaystyle \frac{2\sqrt{18}+3\sqrt{18}}{3\sqrt{2}-\sqrt{2}} işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
  • \displaystyle \frac{2\sqrt{18}+3\sqrt{18}}{3\sqrt{2}-\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{9.2}+3\sqrt{4.2}}{3\sqrt{2}-\sqrt{2}}
  • \displaystyle \frac{2\sqrt{{{3}^{2}}.2}+3\sqrt{{{2}^{2}}.2}}{2\sqrt{2}}
  • \displaystyle =\frac{2.3\sqrt{2}+3.2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}
  • \displaystyle =\frac{6\sqrt{2}+6\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}
  • \displaystyle =\frac{12\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}
  • \displaystyle =\frac{12}{2}=6 bulunur.

Örnek:

  • \displaystyle \frac{6}{\sqrt{2}} işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
  • \displaystyle \frac{6}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}}
  • \displaystyle =\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2} bulunur.

Örnek:

  • \displaystyle \frac{12}{\sqrt{3}} işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
  • \displaystyle \frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}
  • \displaystyle =\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3} bulunur.


Leave A Reply