Küre Parçası Alan ve Hacim Hesaplaması, Örnekler, Küre Kapağı Nedir?

0

Küre parçası nedir, küre parçasının yüzey alanı ve hacmi nasıl hesaplanır? Küre parçası alan ve hacim formülü, örnek soru ve çözümleri.

Küre Parçası

Bir küre kapağı ile bu kapağın taban dairesi tarafından sınırlanan cisme küre parçası denir.

Advertisement

Küre Kapağı

Küre parçası, içi boş küre kapağının içi dolu halidir. Küre parçasının yüzey alanı, küre kapağıdır.

Küre Kapağı
  • Bir küre yüzeyinin bir düzlemle kesilmesi sonucu elde edilen parçalardan her birine küre kapağı denir.
  • Aşağıdaki E düzlemi O merkezli küre yüzeyini iki tane küre kapağına ayırır.
  • Yarıçapı r olan kürede, yüksekliği h olan küre kapağının alanı,
  • \displaystyle A=2\pi r.h

Yarıçapı r olan kürede, yüksekliği h olan küre parçasının hacmi,

\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi {{h}^{2}}\left( 3r-h \right) olur.

Advertisement

Örnek:

Bir küre merkezinden 4 cm uzaklıktaki bir düzlemle kesiliyor. Kesit alanı 9π cm² olduğuna göre,

  • a. küre kapağının alanını bulalım.
  • b. küre parçasının hacmini bulalım.
Çözüm

Küre Parçası

Düzlemle kürenin kesit alanı,

  • 9π cm² olduğundan,
  • kesitin yarıçapı, |AP| = 3 cm olur.
  • OAP (3-4-5) dik üçgeni olduğundan,
  • r = |OA| = 5 cm olur.
  • |OH| = r = 5 cm olduğundan,
  • küre kapağının yüksekliği |PH| = h = 5- 4 = 1cm olur.

Buna göre,

  • a. Küre Kapağının Alanı = \displaystyle 2\pi rh=2\pi 5.1=10\pi c{{m}^{2}}
    bulunur.
  • b. r = 5 cm ve h = 1 cm için küre parçasının hacmi,
  • \displaystyle V=\frac{1}{3}\pi {{h}^{2}}\left( 3r-h \right)
  • \displaystyle V=\frac{1}{3}\pi {{1}^{2}}\left( 3.5-1 \right)=\frac{1}{3}\pi .14=\frac{14}{3}\pi c{{m}^{3}} olur.

Küre Tabakasının Hacmi

Taban yarıçapları a ve b, yüksekliği h olan küre tabakasının hacmi,

Advertisement

\displaystyle V=\frac{1}{6}\pi h\left( 3{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}+{{h}^{2}} \right)

Örnek

Yarıçapının uzunluğu 12 cm olan bir küre, merkezine uzaklığı 5 cm olan paralel iki düzlemle kesiliyor.

Buna göre, paralel iki düzlem arasında kalan

  • a. küre kuşağının alanını bulalım.
  • b. küre tabakasının hacmini bulalım.
Çözüm

Küre merkezinden 5 cm uzaklıkta iki düzlem çizilebilir. Bu durumda paralel iki düzlem arasındaki uzaklık 10 cm olur.

  • Küre Kuşağının Alanı = \displaystyle 2.\pi .r.h
  • Küre Kuşağının Alanı = \displaystyle 2.\pi .12.10
  • Küre Kuşağının Alanı = 240 π cm² olur.

Şekilde, düzlemlerin küre merkezine uzaklığı 5 cm ve

r = 12 cm olduğundan,

AOB dik üçgeninde pisagor bağıntısından,

  • a = |AB| = \displaystyle \sqrt{119} cm,
  • b = |CD| = \displaystyle \sqrt{119} cm olur.

Buna göre küre tabakasının hacmi,

  • \displaystyle V=\frac{1}{6}\pi h\left( 3{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}+{{h}^{2}} \right)
  • \displaystyle V=\frac{1}{6}\pi 10\left( 3.119+3.119+100 \right)
  • \displaystyle V=\frac{1}{3}\pi 5.814=\frac{4070}{3}\pi cm³ olur.

Advertisement


Leave A Reply