Olasılık Fonksiyonunun Özellikleri

Olasılık fonksiyonu nedir, özellikleri nelerdir? Olasılık fonksiyonu ile ilgili formüller, özelliklerinin açıklaması.

Olasılık hesabı ön bilgi;

Olasılık hesabı, sonucu önceden bilinmeyen bir olayın tahmin edilmesidir. Bir zar atma olayında hangi sayının geleceğinin tahmin edilmesi bir olasılık hesabı olduğu gibi, meteoroloji uzmanlarının hava tahminleri de birer olasılık hesabıdır.

ÖRNEK NOKTA : Bir deneyin muhtemel sonuçlarından her birine örnek nokta denir.
ÖRNEK UZAY (E) : Bir deneyin tüm örnek noktalarının kümesine örnek uzay veya evrensel küme denir.
OLAY (A) : Örnek uzayın her bir alt kümesine olay
AYRIK OLAYLAR : E örnek uzayının A ve B gibi iki olayı için A ∩ B = ∅ ise, A ve B olaylarına ayrık olaylar denir. A ve B aynı anda meydana gelemeyen iki olaydır. Mesela bir zarın bir kez atılması deneyinde bir 1 gelmesi olayı ile 2 gelmesi olayı ayrık olaylardır. Çünkü bu olayların birlikte gerçekleşmeleri mümkün değildir.
İMKANSIZ OLAY : E örnek uzayında boş kümeye imkansız olay denir. (Ø ⊂ E dir.)
KESİN OLAY: E örnek uzayına kesin olay denir. (E ⊂ E dir.)

Olasılık Fonksiyonunun Özellikleri

P olasılık fonksiyonu, A, B, C olayları E örnek uzayının alt kümeleri olmak üzere;

1. A olayının olasılığı 0 ile 1 arasındadır.

$\displaystyle 0\le P\left( A \right)\le 1$

2. Boş kümenin olasılığı 0, örnek uzayın olasılığı 1 ‘dir.

$\displaystyle P\left( \varnothing \right)=0$ VE $\displaystyle P\left( E \right)=1$

3. $\displaystyle A\subset B\Rightarrow P\left( A \right)\le P\left( B \right)$

4. A olayının olma olasılığı P(A), olmama olasılığı P(A’) ise,

$\displaystyle \begin{array}{l}P\left( A \right)+P\left( A' \right)=1\\P\left( A \right)=1-P\left( A' \right)\\P\left( A' \right)=1-P\left( A \right)\end{array}$ DIR

5. E = {A, B, C, …} olayları örnek uzayın ikişer ikişer ayrık olayları ise

$\displaystyle P\left( A \right)+P\left( B \right)+P\left( C \right)+...=1$ DİR.

A veya B olaylarının olasılığı: P(A∪B) sembolü, A veya B olaylarından en az birinin gerçekleşme olasılığını gösterir.

$\displaystyle P\left( A\cup B \right)=P\left( A \right)+P\left( B \right)-P\left( A\cap B \right)$ DİR.

$\displaystyle P\left( A\cup B\cup C \right)=P\left( A \right)+P\left( B \right)+P\left( C \right)-\left[ P\left( A\cap B \right)+P\left( A\cap C \right)+\left( B\cap C \right) \right]+P\left( A\cap B\cap C \right)$

A ∩ B = ∅ ise, A ve B ayrık olaylardır. Buradan;

$\displaystyle P\left( A\cup B \right)=P\left( A \right)+P\left( B \right)$ DİR.

6. E = {e₁ , e₂ , e₃ ,…, e_n } örnek uzayında

P(e₁ ) = P(e₂ ) = P(e₃) = … = P(e_n) ise E örnek uzayına olumlu örne1< uzay denir. Yani öir örnek uzayda her bir örnek noktanın gerçekleşme ihtimali birbirine eşit ise bu örnek uzaya eş olumlu örnek uzay adı verilir.

7. E eş olumlu örnek uzayında n(A) : A olayının olabileceği durumların sayısı

n(E): Örnek uzayın eleman sayısı ise,

$\displaystyle P\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( E \right)}$ ‘DİR.