Bir Matrisin Çarpma İşlemine Göre Tersi

0

Bir Matrisin Çarpma İşlemine Göre Tersi nasıl hesaplanır? Bir Matrisin Çarpma İşlemine Göre Tersi örnekli anlatım.

Bir Matrisin Çarpma İşlemine Göre Tersi;

Advertisement

\displaystyle A={{\left[ {{a}_{ij}} \right]}_{nxn}} ve \displaystyle B={{\left[ {{b}_{ij}} \right]}_{nxn}} olsun.

Eğer A.B = B.A = Inxn ise B ye A nın ya da A ya B nin çarpma işlemine göre tersi denir.

A-1 ile gösterilir.

ÖRNEK:

Advertisement

\displaystyle A=\left( \begin{matrix}     1 & 2  \\     3 & 6  \\  \end{matrix} \right) matrisinin çarpma işlemine göre tersi varsa tersini bulunuz.

ÇÖZÜM:

A matrisinin çarpma işlemine göre tersi

\displaystyle {{A}^{-1}}=\left( \begin{matrix}     x & y  \\     z & t  \\  \end{matrix} \right) olsun

\displaystyle A.{{A}^{-1}}={{I}_{nxn}}\Leftrightarrow \left( \begin{matrix}     1 & 2  \\     3 & 6  \\  \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}     x & y  \\     z & t  \\  \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}     1 & 0  \\     0 & 1  \\  \end{matrix} \right)

\displaystyle \Leftrightarrow \left( \begin{matrix}     x+2z & y+2t  \\     3x+6z & 3y+6t  \\  \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}     1 & 0  \\     0 & 1  \\  \end{matrix} \right)

Advertisement

\displaystyle \left. \begin{array}{l}x+2z=1\\3x+6z=0\end{array} \right\rangle ve

\displaystyle \left. \begin{array}{l}y+2t=0\\3y+6t=1\end{array} \right\rangle

sistemleri bulunur. Bu sistemlerin çözüm kümesi 0 olduğu görülür. O halde A matrisinin çarpma işlemine göre tersi yoktur.

UYARI;

Bazı kare matrislerin çarpma işlemine göre ters matrisinin olduğu ve bazı kare-matrislerin de ters matrisleri olmadığına dikkat ediniz.

Pratik Yol

\displaystyle A=\left( \begin{matrix}     a & b  \\     c & d  \\  \end{matrix} \right) ise

\displaystyle {{A}^{-1}}=\frac{1}{ad-bc}\left( \begin{matrix}     d & -b  \\     -c & a  \\  \end{matrix} \right)

\displaystyle \left| A \right|=ad-bc\ne 0

ÖRNEK

\displaystyle A=\left( \begin{matrix}     a & b  \\     c & d  \\  \end{matrix} \right)\Rightarrow {{A}^{-1}}=?

Advertisement

\displaystyle \left| A \right|=ad-bc=1.4-3.2=4-6=-2\ne 0

\displaystyle {{A}^{-1}}=\frac{1}{-2}\left( \begin{matrix}     4 & -2  \\     -3 & 1  \\  \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}     -2 & 1  \\     \frac{3}{2} & \frac{-1}{2}  \\  \end{matrix} \right)


Leave A Reply