Bir Matrisin Çarpma İşlemine Göre Tersi

Bir Matrisin Çarpma İşlemine Göre Tersi nasıl hesaplanır? Bir Matrisin Çarpma İşlemine Göre Tersi örnekli anlatım.

Bir Matrisin Çarpma İşlemine Göre Tersi;

$\displaystyle A={{\left[ {{a}_{ij}} \right]}_{nxn}}$ ve $\displaystyle B={{\left[ {{b}_{ij}} \right]}_{nxn}}$ olsun.

Eğer A.B = B.A = I_nxn ise B ye A nın ya da A ya B nin çarpma işlemine göre tersi denir.

A^-1 ile gösterilir.

ÖRNEK:

$\displaystyle A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \\ \end{matrix} \right)$ matrisinin çarpma işlemine göre tersi varsa tersini bulunuz.

ÇÖZÜM:

A matrisinin çarpma işlemine göre tersi

$\displaystyle {{A}^{-1}}=\left( \begin{matrix} x & y \\ z & t \\ \end{matrix} \right)$ olsun

$\displaystyle A.{{A}^{-1}}={{I}_{nxn}}\Leftrightarrow \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x & y \\ z & t \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left( \begin{matrix} x+2z & y+2t \\ 3x+6z & 3y+6t \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

$\displaystyle \left. \begin{array}{l}x+2z=1\\3x+6z=0\end{array} \right\rangle ve$

$\displaystyle \left. \begin{array}{l}y+2t=0\\3y+6t=1\end{array} \right\rangle$

sistemleri bulunur. Bu sistemlerin çözüm kümesi 0 olduğu görülür. O halde A matrisinin çarpma işlemine göre tersi yoktur.

UYARI;

Bazı kare matrislerin çarpma işlemine göre ters matrisinin olduğu ve bazı kare-matrislerin de ters matrisleri olmadığına dikkat ediniz.

Pratik Yol

$\displaystyle A=\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right)$ ise

$\displaystyle {{A}^{-1}}=\frac{1}{ad-bc}\left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{matrix} \right)$

$\displaystyle \left| A \right|=ad-bc\ne 0$

ÖRNEK

$\displaystyle A=\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right)\Rightarrow {{A}^{-1}}=?$

$\displaystyle \left| A \right|=ad-bc=1.4-3.2=4-6=-2\ne 0$

$\displaystyle {{A}^{-1}}=\frac{1}{-2}\left( \begin{matrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{-1}{2} \\ \end{matrix} \right)$