Karmaşık Sayının Eşleniği

Karmaşık sayının eşleniği nasıl gösterilir, örnek sorular ve çözümler. Karmaşık sayının eşleniği konu anlatımı

KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ

z karmaşık sayının sanal kısmının ters işaretlisine, sayının eşleniği denir ve $\displaystyle \overline{z}$ ile gösterilir.

z = a+ib ise $\displaystyle \overline{z}$ = a – ib dir.

Re(z) = Re( $\displaystyle \overline{z}$ ) ve İm(z)=-İm( $\displaystyle \overline{z}$ ) dir.

z = a + ib karmaşık sayısında b≠0 olmak üzere, z sayısı, $\displaystyle \overline{z}$ sayısının x- eksenine göre simetriğidir.

karmasik-sayi-eslenigi-1

Örnek:

a) z1 = 2-i
b) z2 = 5+2i
c) z3 = 2i
d) z4 = -1+i

Çözüm:

a) $\displaystyle {{\overline{z}}_{1}}=2+i$
b) $\displaystyle {{\overline{z}}_{2}}=5-2i$
c) $\displaystyle {{\overline{z}}_{3}}=-2i$
d) $\displaystyle {{\overline{z}}_{4}}=-1-i$

karmasik-sayi-eslenigi-2

Örnek:

$\displaystyle z\in \mathbb{C}$ olmak üzere,

$\displaystyle \left( 2+i \right).\overline{z}=1-z$ olduğuna göre;

Re(z) + Im(z) kaçtır?

Çözüm:

z = x + yi ve $\displaystyle \overline{z}=x-yi$ ifadelerini eşitlikte yerlerine yazalım.

(2 + i). (x – yi) = 1 – (x + yi)
2x – 2yi + xi + y = 1 – x – yi
2x + y + i . (x – 2y) = 1 – x – yi
2x + y = 1- x ⇒ 3x + y=1
x – 2y = -y ⇒ x-y = 0
$\displaystyle 4x=1\Rightarrow x=\frac{1}{4}$

$\displaystyle y=\frac{1}{4}\Rightarrow x+y=\frac{1}{2}$

Örnek:

$\displaystyle z\in \mathbb{C}$ olmak üzere,

$\displaystyle \frac{z-\overline{z}}{2i}=\frac{z.\overline{z}}{z+\overline{z}}$

Re(z) – Im(z) kaçtır?

Çözüm:

z = x + yi ve $\displaystyle \overline{z}=x-yi$ ifadelerini eşitlikte yerlerine yazalım.

$\displaystyle \frac{x+yi-x+yi}{2i}=\frac{\left( x+yi \right).\left( x-yi \right)}{x+yi+x-yi}$

$\displaystyle \frac{2yi}{2i}=\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2x}$

$\displaystyle \Rightarrow y=\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2x}\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2xy$

$\displaystyle {{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}=0\Rightarrow {{\left( x-y \right)}^{2}}=0\Rightarrow x=y$

Re(z) – Im(z) = x – y = 0

Örnek:

$\displaystyle z\in \mathbb{C}$ olmak üzere,

$\displaystyle \left( 2+i \right).z+1=7i+(3-i).\overline{z}$ olduğuna göre,
z karmaşık sayısının eşiti nedir?

Çözüm:

z = x + yi ve $\displaystyle \overline{z}=x-yi$ ifadelerini eşitlikte yerlerine yazalım.

(2 + i) . (x + yi) + 1 = 7i + (3 – i) . (x – yi)
2x + 2yi + xi – y + 1 = 7i + 3x – 3yi – xi – y
2x – y + 1 + i . (2y + x) = 3x – y + i . (7 – 3y – x)
2x-y + 1 = 3x – y
x = 1
2y + x = 7-3y-x
2y + 1 = 6 – 3y
y=1

olduğuna göre, z = 1 + i dir.