Polinomlarda dört işlem nasıl yapılır? Örneklerle polinomlarda işlemler konusu anlatımı, açıklaması.
Polinomlarda İşlemler
Toplama ve Çıkarma: İki polinomun toplamı; aynı dereceli terimlerinin katsayıları toplanarak farkı; aynı dereceli terimlerinin katsayıları çıkarılarak bulunur.
ÖRNEK:
P(x) = 2x3 – 3x2 + 4 ve
Q(x) = 5x2 + 6x + 5 polinomlarmın toplamını ve farkını bulunuz.
ÇÖZÜM:
P(x)+ Q(x) = (2x3– 3x2 + 4) + (5x2+6x+5)
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x2 + 6x + 9
P(x) – Q(x) = (2x3 – 3x2 + 4) – (5x2 + 6x + 5)
P(x) – Q(x) = 2x3 – 8x2 – 6x -1
Çarpma: İki polinomun çarpımı yapılırken birinin her terimi, diğerinin her terimi ile çarpılıp toplanır.
Not: Çarpımın derecesi polinomların dereceleri toplamına eşittir.
ÖRNEK:
P(x) = x3 + 2x + 1
Q(x) = x2 + 4x ise
P(x). Q(x) çarpımını bulunuz.
ÇÖZÜM:
P(x). Q(x) = (x3 + 2x + 1) (x2 + 4x) = x5 + 4x4 + 2x3 + 8x2 + x2 + 4x
= x5 + 4x4 + 2x3 + 9x2 + 4x
Polinomlarda Bölme:
d(P(x)) ≥ d(Q(x)),
d(K(x)) < d(Q(x))
Q(x) ≠ 0 olmak üzere
P(x) = Q(x) . B(x) + K(x) koşulunu gerçekleyen B(x) polinomuna P(x)’in Q(x)’e bölümü denir.
P(x) = Q(x). B(x) + K(x) eşitliğinde
P(x): Bölünen
Q(x): Bölen
B(x): Bölüm
K(x): Kalandır.
ÖRNEK:
P(x)= 2x3 + 3x2 – 4x – 7 polinomunun Q(x) = x2 + x – 3 polinomuna bölümü yapılırken, sıralı değilse önce polinomlar x’in azalan kuvvetlerine göre sıralanır. Bölme işlemine kalanın derecesi, bölenin derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir. Aşağıdaki örneği inceleyiniz.
Not: P(x) polinomunun Q(x) polinomuna tam bölünebilmesi için gerek ve yeter koşul K(x) = 0 olmasıdır.
P(x) Polinomunun x-a ile bölümündeki kalanın bulunması: (Bölme işlemi yapmadan)
Bir P(x) polinomunun x-a ile bölümündeki kalan; polinomda x yerine a yazılarak elde edilen gerçel sayıdır.
P(x) – (x-a). Q(x) + K
P(a) = (a-a). Q(a) + K
P(a) = K
Not:
1) Polinomun x+a ile bölümünden elde edilen kalan, polinomda x yerine -a yazılarak bulunur. P(-a) = K dır.
2) Polinomun ax+b ile bölümündeki kalan ise, polinomda x yerine -b/a yazılarak bulunur.
P (-b/a) = K dır.
3) P(x) polinomunun (x-a) ile tam bölünebilmesi için P(a) = 0 olmalıdır.
ÖRNEK :
P(x) = 5x3 + 2x2 – 4x + 7 polinomunun x-2 ile bölümündeki kalanı bulunuz.
ÇÖZÜM:
Kalan P(2) dir. P(2) = 5. 23+ 2.22– 4.2 + 7
P(2) = 5.8 + 8- 8 + 7
P(2) = K = 47
Not 1: a, b, c ikişer, ikişer farklı üç gerçel sayı olduğuna göre en az üçüncü dereceden bir P(x) polinomunun (x-a) (x-b) (x-c) ile bölünebilmesi için gerek ve yeter koşul bunların her biri ile ayrı ayrı bölünebilmesidir.
2) n dereceden bir P(x) polinomunun a1, a2, …, an gibi ikişer ikişer birbirinden farklı n tane kökü varsa; an, polinomun başkatsayısı olmak üzere P(x) = an (x-a1) (x-a2) … (x-an) dir.
3) P(x) polinomunun (x-a)m ile bölünebilmesi için gerek ve yeter koşul P(x)’in ardışık m-1 tane bölümünün x-a ile bölünebilmesidir.
