Karmaşık Sayının Kutupsal Gösterimi Konu Anlatımı

0

By gurur on 21 Ekim 2016 Bilgi Dünyası

Advertisement

Karmaşık sayıların kutupsal gösterimi konusu örnek ve çözümlü sorular ile açıklaması, özellikleri konu anlatımı.

KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL GÖSTERİMİ

z = a + ib sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü şekildeki A noktası olsun.

karmasik-sayilar-kutupsal-gosterimi-1

$\displaystyle \overset{\Delta }{\mathop{OHA}}\,$ dik üçgeninde $\displaystyle r=\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ dir.

$\displaystyle \cos \theta =\frac{a}{r}$
$\displaystyle \sin \theta =\frac{b}{r}$

$\displaystyle a=r.\cos \theta$
$\displaystyle b=r.\sin \theta$

Advertisement

Bu değerler z karmaşık sayısında yerine yazılırsa
$\displaystyle z=r.\cos \theta +r.i.\sin \theta$ elde edilir.
$\displaystyle z=r.\left( \cos \theta +i.\sin \theta \right)$ şeklindeki yazılışa z karmaşık sayısının kutupsal gösterimi denir.

$\displaystyle k\in \mathbb{Z}$ olmak üzere, $\displaystyle z=r.\left( \cos \left( \theta +2\pi k \right)+i.\sin \left( \theta +2\pi k \right) \right)$ ifadesinde $\displaystyle \left( \theta +2\pi k \right)$ açılarına z karmaşık sayısının argümentleri denir. $\displaystyle 0{}^\circ \le \theta \le 2\pi$ koşulunu sağlayan $\displaystyle \theta$ açısına, z karmaşık sayısının esas argümenti denir ve $\displaystyle \arg \left( z \right)=\theta$ yazılır.

$\displaystyle cis\theta =\cos \theta +i.\sin \theta$ olmak üzere $\displaystyle z=r.cis\theta$ şeklinde gösterilir.

$\displaystyle (r,\theta )$ ikilisine z karmaşık sayısının kutupsal koordinatları denir.

Örnek:

z = -2-2i sayısını kutupsal biçimde yazınız.

Advertisement

Çözüm:

$\displaystyle \left| z \right|=\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+\left( -{{2}^{2}} \right)}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

$\displaystyle tg\theta =\frac{b}{a}\Rightarrow tg\theta =\frac{-2}{-2}=1$

$\displaystyle \theta =\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$

$\displaystyle z=2.\sqrt{2}cis\frac{5\pi }{4}$

karmasik-sayilar-kutupsal-gosterimi-2

Örnek:

$\displaystyle z=-1+\sqrt{3.}i$ sayısını kutupsal biçimde yazınız.

Çözüm:

$\displaystyle \left| z \right|=\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{4}=2$

$\displaystyle tg\theta =\frac{b}{a}\Rightarrow tg\theta =\frac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3}$

Advertisement

$\displaystyle \theta =\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$

$\displaystyle z=2.cis\frac{2\pi }{3}$

karmasik-sayilar-kutupsal-gosterimi-3

Örnek:

$\displaystyle z=\sqrt{6}.cis\frac{5\pi }{3}$ sayısını standart biçimde yazınız.

Çözüm:

$\displaystyle z=\sqrt{6}\left( \cos \frac{5\pi }{3}+i\sin \frac{5\pi }{3} \right)$

$\displaystyle =\sqrt{6}\left( \frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}i$

Leave A Reply Cancel Reply