Son Yazılar :
NKFUCOM
NKFUCOM

Karmaşık Sayının Kuvveti

0
By on Bilgi Dünyası
Advertisement

Karmaşık sayıların kuvveti nasıl hesaplanır, örnek çözümlü sorular, karmaşık sayının kuvveti konu anlatımı.

KARMAŞIK SAYININ KUVVETLERİ

\displaystyle n\in \mathbb{R} ve \displaystyle z=r.\left( \cos \theta +i\sin \theta \right) olmak üzere, \displaystyle {{z}^{n}}={{r}^{n}}\left( \cos n.\theta +i\sin n.\theta \right) dır. (De Moivre Formülü)

Örnek:

\displaystyle z=\sqrt{3}-i olduğuna göre, \displaystyle {{z}^{15}} sayısını bulunuz.

Çözüm:

\displaystyle \left| z \right|=\sqrt{3+1}=2
\displaystyle \tan \theta =\frac{-1}{\sqrt{3}} (4. bölge) \displaystyle \theta =330{}^\circ

Advertisement

\displaystyle z=2cis330{}^\circ \Rightarrow {{z}^{15}}={{2}^{15}}cis\left( 330{}^\circ .15 \right)

\displaystyle \Rightarrow {{z}^{15}}={{2}^{15}}cis270{}^\circ

\displaystyle {{z}^{15}}=-{{2}^{15}}.i

Örnek:

\displaystyle z=\sqrt{2}.\left( \cos 24{}^\circ +i.\sin 24{}^\circ \right) için \displaystyle {{z}^{15}} sayısını bulunuz.

Çözüm:
\displaystyle z=\sqrt{2}.cis24{}^\circ

Advertisement

\displaystyle {{z}^{15}}={{2}^{\frac{15}{2}}}.cis\left( 24{}^\circ .15 \right)

\displaystyle {{z}^{15}}={{2}^{\frac{15}{2}}}.cis\left( 360{}^\circ \right)

\displaystyle {{z}^{15}}={{2}^{\frac{15}{2}}}

Örnek:

\displaystyle {{\left[ 4.\left( \cos 24{}^\circ +i.\sin 24{}^\circ \right) \right]}^{3}}.{{\left( \cos 175{}^\circ +i.\sin 175{}^\circ \right)}^{4}} işleminin sonucu nedir?

Çözüm:

\displaystyle \left[ {{4}^{3}}.cis\left( 24{}^\circ .3 \right) \right].\left[ cis175{}^\circ .4 \right]

\displaystyle {{4}^{3}}.cis\left( 72{}^\circ +700{}^\circ \right)={{4}^{3}}cis\left( 772{}^\circ \right)=64.cis52{}^\circ

Örnek:

\displaystyle z=\cos \frac{\pi }{8}+i.\sin \frac{\pi }{8} olduğuna göre, \displaystyle {{\left( \overline{z} \right)}^{8}} kaçtır?

Çözüm:

Advertisement

\displaystyle z=\cos \frac{\pi }{8}+i.\sin \frac{\pi }{8} ise \displaystyle \overline{z}=\cos \frac{\pi }{8}-i.\sin \frac{\pi }{8}

\displaystyle \overline{z}=\cos \left( -\frac{\pi }{8} \right)+i.\sin \left( -\frac{\pi }{8} \right)

\displaystyle {{\left( \overline{z} \right)}^{8}}={{\left( \cos \left( -\frac{\pi }{8} \right)+i.\sin \left( -\frac{\pi }{8} \right) \right)}^{8}}

\displaystyle =\cos \left( -\pi \right)+i.\sin \left( -\pi \right)=-1


Leave A Reply